#Aufgabe 1

#Einlesen der Daten
wetter <- read.table("wetter.txt",header=T)
X.wetter <- wetter[,-1]

#a)

mean.wetter <- colMeans(X.wetter)
mean.wetter
cov.wetter <- cov(X.wetter)
cov.wetter
cor.wetter <- cor(X.wetter)
cor.wetter

#Beim Betrachten der Kovarianzmatrix fällt auf, dass die Wettervariablen deutlich
#unterschiedliche Varianzen haben, insb. die von X4 ist dominant.


#b)

help(princomp)
#Die Funktion princomp() ermöglicht die Durchführung einer PCA.

#PCA auf Basis der Korrelationsmatrix (cor=T)

pca.wetter.cor <- princomp(X.wetter,cor=T)
#Vorsicht: Die standard deviations geben hier die Wurzeln der Eigenwerte an.

#Mit der Funktion screeplot() kann man die Beiträge der einzelnen Hauptkomponenten
#zur Gesamtvarianz graphisch darstellen. Die Höhe der Balken entspricht dann den
#Eigenwerten

par(mfrow=c(1,2))

screeplot(pca.wetter.cor)

#über loadings() erhält man die zugehörigen Eigenvektoren.
ev.wetter.cor <- loadings(pca.wetter.cor)
ev.wetter.cor

#c)
#Dasselbe mit der Kovarianzmatrix: cor=F setzen

pca.wetter.cov <- princomp(X.wetter,cor=F)

screeplot(pca.wetter.cov)

ev.wetter.cov <- loadings(pca.wetter.cov)
ev.wetter.cov

#loadings() gibt Einträge mit Werten nahe null gar nicht aus; man kann sich die
#vollständigen Eigenvektoren mit ev.wetter.cov[,1], etc. ausgeben lassen


#d)

#Da die Hauptkomponentenanalyse (PCA) nicht skaleninvariant ist, sollten die Variablen
#zunächst geeignet skaliert werden, zB. durch Standardisierung zu Varianz 1, um
#Varianzen in der selben Größenordnung zu erhalten. Da im nicht-standardisierten
#Fall, dh. beim Betrachten der Kovarianzmatrix, die Varianz der Kovariable X4
#deutlich größer ist, wird bei der PCA fast nur diese eine Rolle spielen. Das
#erkennt man sowohl an den Screeplots als auch beim durch die Hauptkomponenten
#erklärten Anteil der Gesamtstreuung: betrachte

summary(pca.wetter.cor)

#und

summary(pca.wetter.cov)