#Aufgabe 2

#Einlesen der Daten
euro <- read.table("europa.txt",header=T)
X.euro <- euro[,-1]
rownames(X.euro) <- euro[,1]

# a)
mean.euro <- colMeans(X.euro)
mean.euro
cov.euro <- cov(X.euro)
cov.euro
cor.euro <- cor(X.euro)
cor.euro

# b) siehe ?bungsmitschrift 

# c) 
#Die Funktion princomp() erm?glicht die Durchf?hrung einer PCA.
help(princomp)

# PCA auf Basis der Korrelationsmatrix (cor=T)
pca.euro.cor <- princomp(X.euro,cor=T)
#Vorsicht: Die standard deviations geben hier die Wurzeln der Eigenwerte an.

# d) 
#Mit der Funktion screeplot() kann man die Beitr?ge der einzelnen Hauptkomponenten
#zur Gesamtvarianz graphisch darstellen. Die H?he der Balken entspricht dann den
#Eigenwerten
screeplot(pca.euro.cor)

# e) 
#Matrix Q der Eigenvektoren ?ber Funktion loadings() 
Q <- loadings(pca.euro.cor)
p <- dim(Q)[2]

#Vektor f?r Namen
names <- names(X.euro)
par(mfrow = c(p,1))

#Balkendiagramm f?r jede Hauptkomponente
for (i in 1:p){
  if(all(Q[,i]<0)){
    Q[,i] <- -Q[,i]  #Vorzeichen?nderung
  }
  #Anordnung gem?? der absoluten Werte
  o <- rev(order(abs(Q[,i])))
  barplot(Q[o,i],names.arg = names[o])
  abline(h = 0)
}

### F?r das Verst?ndnis: 

# Kovarianzmatrix der neuen Werte/Beobachtungen Y 
t(loadings(pca.euro.cor))%*%cor(X.euro)%*%loadings(pca.euro.cor)

# Spektralzerlegung der Korrelationsmatrix cor.euro 
loadings(pca.euro.cor)%*%diag(pca.euro.cor$sdev^2)%*%t(loadings(pca.euro.cor))

# f) 
eigen.euro.cor <- eigen(cor.euro)
frac.expl <- eigen.euro.cor$values/sum(eigen.euro.cor$values)
frac.expl

# g) siehe ?bungsmitschrift 

# h) siehe ?bungsmitschrift 

ind <- which(euro[,1]=="Schweiz"| euro[,1]=="Bulgarien")

# skalierete Designmatrix
euro.scaled <- scale(X.euro)
# Eigenvektor 1 und 2
a1a2  <- eigen.euro.cor$vectors[,1:2]
# Neue Werte y1 und y2 
y1y2  <- euro.scaled%*%a1a2
y1y2[ind,]

# oder einfach ?ber princomp()
pca.euro.cor$scores[ind,1:2]