#Aufgabe 1
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# Datensatz laden
Theater_0<-read.table("Theater.txt",header=TRUE)
head(Theater_0)

#(i)
M0<-lm(Theater~., data=Theater_0)
summary(M0) 
#-> Theater_Vorjahr als einzige nichtsignifikante Variable
#-> großes Problem: Geschlecht wird nicht als Faktorvariable ausgegeben, sondern 
#wie eine stetige Größe behandelt [Faktorisierung: siehe Aufgabe 2]


#(ii)
M1<-lm(Theater~.-Theater_Vorjahr, data=Theater_0)
#alternativ:
M1<-update(M0, Theater~.-Theater_Vorjahr)  
summary(M1)

#(iii)
#M1 und M0 können durch anova verglichen werden
anova(M1,M0)
# M1 ist "sparsamer" als M0! Beim Übergang von M0 auf M1 geht nur 
# wenig Information verloren - die Residualstreuung wird nur geringfügig größer.
#(P-Wert > 0.1, Nullhypothese, dass das kleinere Modell verwendet werden kann, 
# kann nicht verworfen werden, d.h. kleineres Modell M1 "angebrachter") 
# Daher kann bzw. sollte das volle Modell durch das reduzierte ersetzt werden

# Fazit: M1 scheint sinnvoller als M0 zu sein 

#Aufgabe 2
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head(Theater_0$Geschl)  #1,0,1,1 d.h. w,m,w,w (zur Veranschaulichung)

#(i)
Geschl_fac<- factor(Theater_0$Geschl, levels=c(0,1), labels=c("männl.", "weibl.") )
head(Geschl_fac)  #zur Überprüfung
summary(Geschl_fac)  
#Hier werden durch den summary()-Befehl die absoluten
#Häufigkeiten der beiden Kategorien angezeigt. Dies entspricht auch table(Geschl_fac).

#(ii)
Theater_1 <- Theater_0
Theater_1$Geschl <- Geschl_fac
head(Theater_1)
M_neu<-lm(Theater~., data=Theater_1)
summary(M_neu)
#Interpretation:
#Intercept:Durchschnittliche Theaterausgaben der Männer, wenn alle
#          anderen Variablen auf 0 gesetzt sind
#
#metr.Einflussgrößen: steigt die Variable (z.B.) Alter um eine Einheit,
#                    so erhöhen sich die durchschnittlichen Ausgaben um
#                    0.398 Einheiten.Vorausgesetzt alle anderen Variablen bleiben gleich.
#Geschlweibl: Beim Übergang auf die Kategorie weibl. ändern sich die 
#             durchschnittlichen Ausgaben um 22.221. 
#             Vorausgesetzt alle anderen Variablen bleiben gleich. 


#(iii)
#Vermutung:

# Da die Referenzkategorie geändert wurde, dreht sich das Vorzeichen beim
# Koeffizienten für Geschlmännl. um.
# Im neuen Intercept geht der Effekt von Geschlweibl. mit ein

Theater_2 <- Theater_1
Theater_2$Geschl<-relevel(Geschl_fac, ref="weibl.")
M_rel<-lm(Theater~., data=Theater_2)
summary(M_rel)

#Überprüfung der Vermutung:
-127.22271+22.22059  
# Geschlweibl. = - Geschlmännl. 
# Alter Intercept + Geschlweibl. = neuer Intercept

#(iv)
plot(Geschl_fac, Theater_2$Theater)  #Boxplots für beide Kategorien
boxplot(Theater_2$Theater~Geschl_fac) # weitere Möglichkeit, Boxplots zu erzeugen
plot(Geschl_fac ~ Theater_2$Theater)  #sog. Spinogramm

# Interpretation:
# weibliche Besucher gaben in diesem Jahr mehr Geld für Theater aus

#Aufgabe 3
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#(i)
#Vermutung:
# Da Theater_Vorjahr nicht signifikant ist, ist davon auszugehen, dass die 
#               Interaktion auch nicht signifikant ist
#
M_interac<-update(M_neu, .~.+Geschl_fac:Theater_Vorjahr)
summary(M_interac)
#Interpretation
#Interaktionsterm hat keinen signifikanten Einfluss und auch die
#            Haupteffekte sind nicht (mehr) signifikant


#(ii)
M_log1<-lm(Theater~log(Alter)+log(Gehalt)+log(Kultur)+
  log(Theater_Vorjahr)+Geschl_fac, data=Theater_1)
#Response logarithmieren:
M_log2<-update(M_log1, log(Theater)~.)  
M_sqrt<-update(M_neu, .~.+sqrt(Gehalt))
summary(M_log1)
summary(M_log2)
summary(M_sqrt)
#Generell ist zu Beobachten, dass die Signifikanzen (t-Tests) der einzelnen 
#Variablen - je nach Modell - voneinander abweichen.

#Vergleich der Modellfits mit dem Ausgangsmodell:
# Die stärkste Modellverbesserung erhält man durch Hinzufügen der Wurzel von
# Gehalt, ABER: Wie lässt sich diese interpretieren bzw. rechtfertigen
# Man würde wohl zu M_log2 tendieren, da auch hierdurch R^2 verbessert wird. 
# Allerdings sind auch in diesem Modell die Koeffizienten eher schwer interpretierbar.