#Aufgabe 2
###########

#(i)
# Datensatz einlesen
aids<-read.table("aids.txt", header=TRUE)
attach(aids)

# Schaetze Modell mit Funktion glm(), alternativ waere auch lm() moeglich 
aids_lin<-glm(deaths~time, family=gaussian(), data=aids)

# berechne gefittete Werte
fit_lin<-fitted.values(aids_lin) #oder kuerzer: fit_lin<-fitted(aids_lin)
 
plot(deaths, fit_lin, xlab="tatsaechliche Todesfaelle", 
     ylab="geschaetzte Todesfaelle", main="Gauss-Modell")
abline(0,1, col="red")

#Interpretation:
# insgesamt recht guter Fit
#
#Problem:
#  geschaetzte Todesfaelle sind teilweise negativ


#(ii)
#Es handelt sich um Zaehldaten; zu verwenden ist daher ein Poissonmodell
aids_pois<-glm(deaths~time, family=poisson, data=aids)
fit_pois<-fitted(aids_pois)

plot(deaths, fit_pois, xlab="tatsaechliche Todesfaelle", 
     ylab="geschaetzte Todesfaelle", main="Poisson-Modell")
abline(0,1, col="red")

# Vergleich der beiden Plots 
par(mfrow=c(1,2))
plot(deaths, fit_lin, xlab="tatsaechliche Todesfaelle", 
     ylab="geschaetzte Todesfaelle", main="Gauss-Modell")
abline(0,1, col="red")
plot(deaths, fit_pois, xlab="tatsaechliche Todesfaelle", 
     ylab="geschaetzte Todesfaelle", main="Poisson-Modell")
abline(0,1, col="red")

#Interpretation:
# Keine negativen Schaetzungen beim Poisson-Modell 
# In beiden Faellen Trend(s) erkennbar
#
#Auffaelligkeiten:
# Beim Poissonmodell sehr viele sehr kleine Schaetzwerte, 
# die kaum streuen, wenige grosse Schaetzwerte mit staerkerer Streuung


#(iii) 
#Poissonmodell
pois_pred1<-coefficients(aids_pois)[1]+coefficients(aids_pois)[2]*15
exp(pois_pred1)
pois_pred2<-predict(aids_pois, newdata=data.frame("time"=15))
exp(pois_pred2)

#Lineares Modell
lin_pred1<-coefficients(aids_lin)[1]+coefficients(aids_lin)[2]*15
lin_pred1
lin_pred2<-predict(aids_lin, newdata=data.frame("time"=15))
lin_pred2
#Vergleich:
# Poissonmodell sagt hoeheren Wert vorher.