#################################################################
# Uebung zu Schaetzen und Testen 1 im WiSe 15/16 
# R-Loesung zur Uebung 9
# Autor: David Ruegamer
#################################################################

############# 
# Aufgabe 19
#############

# Parameter der Priori-Verteilung
a <- 0.2
b <- 0.1

# => Priori-EW = a/b = 2
# => Anzahl Priori-Beobachtungen = b = 0.1

# Signifikanzniveau
alpha <- 0.1

####################
# g) Inferenz
####################

x.anz <- c(rep(0,10),rep(1,5),rep(2,4),rep(3,2),rep(4,4))

# Parameter der Posteriori-Verteilung
a.post <- a + sum(x.anz)
b.post <- b + length(x.anz)

# Posteriori-EW
(post.ew <- a.post/b.post)

# Posteriori-Modus
(post.mod <- (a.post-1)/b.post)

# Kredibilitaetsintervall
(ki.anz <- qgamma(c(alpha/2, 1-(alpha/2)), shape=a.post, rate=b.post))

#####################
# h) Prognose
#####################

nu <- 1
# a ist a.post
# x ist neue Beob
# b ist b.post

# EW der Posteriori-praediktiven Verteilung:
(y.post <- nu*a.post/b.post) # = post.ew

# Prognoseintervall:
# (Poisson-Gamma-Verteilung ist Erweiterung der negativen 
#		Binomialverteilung auf stetigen Ausgang "size")

(pi.anz <- qnbinom(c(alpha/2, 1-(alpha/2)), 
									size=a.post, 
									prob=(b.post/(b.post+nu))))

# zum Vergleich die Quantile basierend auf einer Po(lambda.hat)-Vtlg.
qpois(c(alpha/2, 1-(alpha/2)),post.ew)
qpois(c(alpha/2, 1-(alpha/2)),post.mod)

# Problem: Dadurch, dass die Anzahl der Packungen sich so schwach unterscheidet / 
# so wenig streut, ist es auch nicht sehr hilfreich, ein Prognoseintervall zu erstellen
# Oder: Poisson-Verteilung ist hier nicht angemessen.

############# 
# Aufgabe 20
#############

####################
# Fleissaufgabe - Aufgabe 19 g) + h) nochmal mit neuer Priori
####################

# Signifikanzniveau
alpha <- 0.1
a <- -0.5
b <- 0

# Parameter der Posteriori-Verteilung
a.post <- a + sum(x.anz)
b.post <- b + length(x.anz)

# Posteriori-EW
(post.ew <- a.post/b.post)

# Posteriori-Modus
(post.mod <- (a.post-1)/b.post)

# Kredibilitaetsintervall
(ki.anz <- qgamma(c(alpha/2, 1-(alpha/2)), shape=a.post, rate=b.post))

#####################
# Prognose
#####################

nu <- 1
# a ist a.post
# x ist neue Beob
# b ist b.post

# EW der Posteriori-praediktiven Verteilung:
(y.post <- nu*a.post/b.post) # = post.ew

# Prognoseintervall:
# (Poisson-Gamma-Verteilung ist Erweiterung der negativen 
#  	Binomialverteilung auf stetigen Ausgang "size")

(pi.anz <- qnbinom(c(alpha/2, 1-(alpha/2)), 
                   size=a.post, 
                   prob=(b.post/(b.post+nu))))

# zum Vergleich die Quantile basierend auf einer Po(lambda.hat)-Vtlg.
qpois(c(alpha/2, 1-(alpha/2)),post.ew)
qpois(c(alpha/2, 1-(alpha/2)),post.mod)