#################################################################
# Uebung zu Schaetzen und Testen 1 im WiSe 15/16 
# Uebung 10
# Autor: David Ruegamer
#################################################################

### CDF-Sampler Beispiel

# bekannte Dichte, deren Prop.konst. (= 5) wir nicht kennen:
funUnknown <- function(x) dchisq(x, df=3) * 0.2
# Anmerkung: Da es sich um eine Dichte handelt, die wir
# kennen, wuerden wir normalerweise den Kern der Verteilung
# (Chi^2) identifizieren und koennten alles analytisch 
# berechnen. Wir nehmen hier aber zu Uebungszwecken an, 
# dass wir die Normierungskonstante von funUnknown nicht 
# derart bestimmen koennen.

set.seed(42)

# Diskretisiere Traeger mit 1000 'Beobachtungspunkten'
ts = seq(0, 16, length.out=1e4)

# Evaluiere f
fs = funUnknown(ts)
# Plotten der Auswertungen fuer alle ts
plot(fs ~ ts, pch=".")
# wahre Dichte
curve(dchisq(x,df=3), xlim=c(0,16))

# Schaetze Prop.konst.
(c = sum(fs))

# Berechne Pis
pis = fs/c

# Ziehe M Zufallszahlen aus Multinomialverteilung M(1,pis)
# mit Traeger ts
M = 1e6 # Zufallszahlen
ZZs <- sample(ts, size=M, replace=TRUE, prob=pis)

# nochmal zum Vergleich die wahre Dichte
curve(dchisq(x, df=3), xlim=c(0,16))
# und die gezogenen Zufallszahlen
hist(ZZs, breaks=6e2, freq=F)

#### Berechne aus ZZs beispielsweise Punktschaetzer

mean(ZZs) # wahrer EW = df d. Chi-Quadrat-Vtlg. = 3
var(ZZs) # wahre Var = 2*df d. Chi-Quadrat-Vtlg. = 6